题目内容
设三棱锥D-ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．
【答案】分析：证一求出△ABC的三边，利用余弦定理验证即可．
证二利用三垂线定理证明△ABC是锐角三角形．
解答：
解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．
于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．
由余弦定理：
∴∠CAB为锐角．
同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．
证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，
所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE
及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，
因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．
点评：本题考查棱锥的结构特征，三垂线定理，余弦定理等知识，是中档题．
证二利用三垂线定理证明△ABC是锐角三角形．
解答：
解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．
由余弦定理：
∴∠CAB为锐角．
同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．
证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，
所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE
及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，
因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．
点评：本题考查棱锥的结构特征，三垂线定理，余弦定理等知识，是中档题．
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