Question

6．设锐角α终边上一点P的坐标是（3cosθ，sinθ），则函数y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的最大值是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 依题意可求tanα=$\frac{1}{3}$tanθ，利用两角和的正切函数公式，基本不等式可得tany=tan（θ-α）=$\frac{tanθ-tanα}{1+tanθtanα}$=$\frac{2}{\frac{3}{tanθ}+tanθ}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用正切函数的图象和性质即可解得函数y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的最大值．

解答 解：∵锐角α终边上一点P的坐标是（3cosθ，sinθ），y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
依题意tanα=$\frac{sinθ}{3cosθ}$=$\frac{1}{3}$tanθ，
∴tany=tan（θ-α）=$\frac{tanθ-tanα}{1+tanθtanα}$=$\frac{2tanθ}{3+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2}{\frac{3}{tanθ}+tanθ}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴可得：θ∈（0，$\frac{π}{6}$]，即函数y=θ-α（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的最大值是$\frac{π}{6}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正切函数公式，基本不等式，正切函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．