已知等比数列{an}中.a1=1.公比q=2.设Tn=$\frac{1}{{a} {1}{a} {2}}+\frac{1}{{a} {2}{a} {3}}+\frac{1}{{a} {3}{a} {4}}+$-+$\frac{1}{{a} {n}{a} {n+1}}.n∈{N}^{*}$.则下列判断正确的是( )A．$\frac{1}{2}$＜Tn≤$\frac{2}{3}$B．Tn� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．已知等比数列{a_n}中，a₁=1，公比q=2，设T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}+$…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}，n∈{N}^{*}$，则下列判断正确的是（　　）

A．

$\frac{1}{2}$＜T_n≤$\frac{2}{3}$

B．

T_n＞$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$≤T_n＜$\frac{2}{3}$．

D．

T_n≥$\frac{2}{3}$

分析运用等比数列的通项公式和求和公式，可得T_n=$\frac{2}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，T_n是关于n的单调递增函数．可得最小值，再由不等式的性质，即可得到所求和的范围．

解答解：a₁=1，公比q=2，可得a_n=2^n-1，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}•{2}^{n}}$=$\frac{2}{{4}^{n}}$
可得T_n=2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）=2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$[1-（$\frac{1}{4}$）ⁿ]，
T_n是关于n的单调递增函数．
当n=1时，T₁=$\frac{1}{2}$；当n→+∞时，T_n→$\frac{2}{3}$，
可得$\frac{1}{2}$≤T_n＜$\frac{2}{3}$．
故选C．

点评本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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