Question

20．已知α∈（0，$\frac{π}{4}$），β∈（0，π），且tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$．
（1）求tanα；
（2）求2α-β的值．

Answer 1

分析 （1）观察角度的关系发现2α-β=2（α-β）+β，求出tan2（α-β），然后利用两角和的正切函数求出tan（2α-β），进而可求tanα的值．
（2）再根据tanα、tanβ的值确定α，β的具体范围，进而确定2α-β的范围，就可以根据特殊角的三角函数值求出结果．

解答 （本题满分为13分）
解：（1）∵2α-β=2（α-β）+β，…（2分）
又tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，
∴tan2（α-β）=$\frac{2tan（α-β）}{1-ta{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{3}$．…（4分）
故tan（2α-β）=tan[2（α-β）+β]=$\frac{tan2（α-β）+tanβ}{1-tan2（α-β）tanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{3}×\frac{1}{7}}$=1．…（6分）
∴tanα=tan[（α-β）+β]=$\frac{tan（α-β）+tanβ}{1-tan（α-β）tanβ}$=$\frac{1}{3}$．…（7分）
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{4}$，
∴0＜2α＜$\frac{π}{2}$． …（9分）
又∵tanβ=-$\frac{1}{7}$，且β∈（0，π）⇒β∈（$\frac{π}{2}$，π）⇒-β∈（-π，-$\frac{π}{2}$）．  …（11分）
∴2α-β∈（-π，0）．又由（1）可得tan（2α-β）=1，
∴2α-β=-$\frac{3π}{4}$． …（13分）

点评 此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式化简求值，做题时应注意找角度的关系，属于中档题．