Question

19．已知函数f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期为π，函数f（x）的最大值是$\frac{7}{4}$，最小值是$\frac{3}{4}$．
（1）求ω、a、b的值；  
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的最小正周期求出ω的值，再由f（x）的最值求出a、b的值；
（2）根据正弦函数的图象与性质，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即可求出f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）由函数f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b的最小正周期为π，
得$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，
又f（x）的最大值是$\frac{7}{4}$，最小值是$\frac{3}{4}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{a}{2}+b=\frac{7}{4}}\\{-a+\frac{a}{2}+b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$，
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）时，f（x）单调递增，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．

点评 本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象与性质的应用问题，是基础题目．