Question

20．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），则三角形的最大角与最小角的和等于$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 sinA：sinB：sinC=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），由正弦定理可得：a：b：c=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），不妨设a=2，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{3}$+1，利用余弦定理即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），
∴a：b：c=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），
不妨设a=2，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{3}$+1，
∴cosB=$\frac{{2}^{2}+（\sqrt{3}+1）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}{2×2×（\sqrt{3}+1）}$=$\frac{1}{2}$，
B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
∴三角形的最大角与最小角的和=$π-\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．