Question

2．已知函数f（x）=$\frac{lnx+m}{{e}^{x}}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行
（1）函数f（x）是否存在极值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．
（2）已知g（x）=$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$，求证：当x＞0时，g（x）＞1+lnx恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出x＞0时，e^x＞x+1，得到$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$＞$\frac{{e}^{x}}{e}$①，lnx+1≤$\frac{1}{e}$•e^x②，结合①②证出结论．

解答 解：（1）由已知：f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-（lnx+m）}{{e}^{x}}$⇒f′（1）=$\frac{1-m}{e}$=0，解得：m=1，
当m=1时，f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-（lnx+1）}{{e}^{x}}$，令h（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，
知h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（1）=0，
因此f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，f′（x）＜0，解得：x＞1，
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	正	0	负
f（x）	增	极大	减

因此f（x）有极大值f（1）=$\frac{1}{e}$；
（2）令k（x）=e^x-x-1，（x＞0），
k′（x）=e^x-1＞0，（x＞0）恒成立，
因此k（x）在（0，+∞）上单调递增．且k（0）=0，
所以k（x）＞0，（x＞0）恒成立，
因此当x＞0时，e^x＞x+1，
e^2x-1＞（x+1）$\frac{{e}^{x}}{e}$，得：$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$＞$\frac{{e}^{x}}{e}$①，
又由（1）可知f（x）≤f（1）=$\frac{1}{e}$，
故$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$≤$\frac{1}{e}$恒成立，所以lnx+1≤$\frac{1}{e}$•e^x②，
由①②可知$\frac{{e}^{2x-1}}{x+1}$＞1+lnx．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．