Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R，则函数f（x）的最小值为-2，函数f（x）的递增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．

Answer 1

分析 利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的最小值，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围得到函数f（x）的递增区间．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$．
∴f（x）的最小值为-2；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的递增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
故答案为：-2；[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．