Question

12．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：FC∥平面EAD；
（2）求直线AF与平面BCF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，从而平面FBC∥平面EAD，由此能证明FC∥平面EAD．
（2）连接FO、FD，由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BCF所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF．
∵AD?平面FBC，DE?平面FBC，BC?平面FBC，BF?平面FBC，
∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，
又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，
∴平面FBC∥平面EAD，
又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD．
解：（2）连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD中点，∴FO⊥BD，
又∵O为AC中点，且FA=FC，∴AC⊥FO，
又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz
设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，OA=OF=$\sqrt{3}$，
∴O（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），F（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{3}，0，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
设平面BCF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-1），
设直线AF与平面BCF所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直线AF与平面BCF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．