Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（2A）=0，且a=1求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用周期公式即可得解．
（Ⅱ）由已知可求$sin（2A+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，结合A为锐角，可得$cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，利用余弦定理，基本不等式可求$bc≤\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\sqrt{2}×\frac{1-cosx}{2}$=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（4分）
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{1}$=2π；…（5分）
（Ⅱ）由$f（2A）=sin（2A+\frac{π}{4}）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=0$，得$sin（2A+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由题意知A为锐角，所以$A=\frac{π}{4}$，可得：$cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（8分）
由余弦定理：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA可得：1+\sqrt{2}bc={b^2}+{c^2}≥2bc$，
即$bc≤\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$，当且仅当b=c时等号成立，…（10分）
因此$\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{1+\sqrt{2}}}{4}$，
所以△ABC面积的最大值为$\frac{{1+\sqrt{2}}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．