题目内容
11．
如图1，以BD为直径的圆O经过A，C两点，延长DA，CB交于P点，如图2，将PAB沿线段AB折起，使P点在底面ABCD的射影恰为AD的中点Q，AB=BC=1，BD=2，线段PB，PC的中点为E，F．（1）判断四点A，D，E，F是否共面，并说明理由；
（2）求四棱锥E-ABCQ的体积．
分析 （1）利用三角形中位线定理及BC与AD不平行可得A、D、E、F四点共面；
（2）由已知通过求解三角形求得PQ，得到E到底面的距离，再求出四边形ABCQ的面积，代入体积公式求得四棱锥E-ABCQ的体积．
解答 解：（1）结论：A、D、E、F四点不共面．
理由如下：
∵延长DA，CB交于P点，
∴DA与BC不平行，
又∵EF∥BC，
∴EF与AD不平行，
∴A、D、E、F四点不共面；
（2）由AB=BC=1，BD=2，得∠ADB=60°，AD=CD=$\sqrt{3}$，
又P点在底面ABCD的射影恰为AD的中点Q，可得平面PAD⊥平面ABCD，
且△PAD是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，∴PO=$\frac{3}{2}$，
又E为线段PB的中点，∴E到平面ABCD的距离为$\frac{3}{4}$．
SABCQ=S△ADB+S△CDB-S△CDO=$2×2×\sqrt{3}×2×sin60°-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}sin60°$=12-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．
∴${V}_{E-ABCQ}=\frac{1}{3}×（12-\frac{3\sqrt{3}}{8}）×\frac{3}{4}$=$3-\frac{3\sqrt{3}}{32}$．
点评 本题考查线面平行的判定，考查四棱锥体积的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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