Question

已知U={1，2，3，4，5}，A={2，3，5}，B={4，5}，C={x|x²-ax-b=0}（a，b为常数）
（Ⅰ）若C=A∩C_UB，求出实数a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若已知关于x的实系数一元二次方程（a-3）x²+（b+5）x+k=0两实根均在区间（0，1）内，试求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据C=A∩C_UB结合一元二次方程根与系数的关系关于a，b 的方程，从而得出a，b的值．
（II）在（I）结论下，设f（x）=（a-3）x²+（b+5）x+k，观察图象可知

f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- -1 2×2 ＜1 △=1-8k≥0

，解此不等式组可得实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）U={1，2，3，4，5}，B={4，5}，所以C_UB={1，2，3}
∴C=A∩C_UB={2，3，5}∩{1，2，3}={2，3}
因为C={x|x²-ax-b=0}={2，3}，由一元二次方程根与系数的关系，
可得，

2+3=a 2×3=-b

，从而

a=5 b=-6

（Ⅱ）设f（x）=（a-3）x²+（b+5）x+k，由（Ⅰ），

a=5 b=-6

∴f（x）=2x²-x+k，为开口向上的二次函数，
两实根均在（0，1）内
所以，

f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- -1 2×2 ＜1 △=1-8k≥0

解得：0＜k≤

1

8

即当0＜k≤

1

8

时，关于x的实系数方程2x²-x+k=0两实根均在（0，1）内；

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系和函数与方程思想，函数与方程中蕴涵着丰富的数学思想方法，在解有关函数与方程问题时，应注意数学思想方法的挖掘、提炼、总结，以增强分析问题和解决问题的能力．