Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n=1，2，3，…）．
（1）证明：数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等比数列；
（2）设b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n，整理为$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2$•\frac{{S}_{n}}{n}$．即可证明．
（2）由（1）得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=2ⁿ，即S_n=n•2ⁿ．可得b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{n•{2}^{n}•（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 （1）证明：因为，a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{n+2}{n}$S_n，
所以$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2$•\frac{{S}_{n}}{n}$，又a₁=2，
故数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等比数列，首项为2，公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=2ⁿ，即S_n=n•2ⁿ．
所以b_n=$\frac{{2}^{2n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{n•{2}^{n}•（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、裂项求和方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．