题目内容
如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东a角的射线OZ方向航行，其中tana=
，在距离港口O为3
a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=
，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变追赶科学考察船，并在C处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成三角形OBC的面积S最小时，补给最合适．（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）当m为何值时，补给最合适？
【答案】分析：先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系．
（1）先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案．
（2）根据（1）中S（m）的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．
解答：解：以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ的方程为y=3x①，
（1）设A（x，y），∵cosβ=
，sinβ=
，
则x=3
asinβ=9a，y=3
acosβ=6a，∴A（9a，6a）．
又B（m，0），则直线AB的方程为y=
（x-m） ②
由①、②解得，C（
，
），
∴S（m）=S△OBC=
|OB||yc|=
×m×
=
（m＞7a）．
（2）S（m）=
=3a[（m-7a）+
+14a]≥84a2当且仅当m-7a=
，即m=14a＞7a时，等号成立，
故当m=14a海里时，补给最合适．
点评：本题主要考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用．考查函数的建模思想和转化思想．
（1）先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案．
（2）根据（1）中S（m）的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．
解答：解：以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ的方程为y=3x①，
（1）设A（x，y），∵cosβ=
，sinβ=，则x=3
asinβ=9a，y=3acosβ=6a，∴A（9a，6a）．又B（m，0），则直线AB的方程为y=
（x-m） ②由①、②解得，C（
，），∴S（m）=S△OBC=
|OB||yc|=×m×=（m＞7a）．（2）S（m）=
=3a[（m-7a）++14a]≥84a2当且仅当m-7a=，即m=14a＞7a时，等号成立，故当m=14a海里时，补给最合适．
点评：本题主要考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用．考查函数的建模思想和转化思想．
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，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变追赶科学考察船，并在C处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成三角形OBC的面积S最小时，补给最合适．
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，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变追赶科学考察船，并在C处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成三角形OBC的面积S最小时，补给最合适．
，在距离港口O为3
a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=
，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变追赶科学考察船，并在C处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成三角形OBC的面积S最小时，补给最合适．