Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-π，0]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x），求出最小正周期T，写出它的减区间；
（2）根据x的取值范围，计算对应x+$\frac{π}{4}$的取值范围，从而求出f（x）的最值．

解答 解；（1）函数f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosx）
=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴最小正周期为T=2π，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
则$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的减区间为$[{\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ}]，k∈Z$；
（2）∵x∈[-π，0]，∴$x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}}]$，
当$x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}$，即$x=-\frac{3π}{4}$时，f（x）有最小值为-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，即x=0时，f（x）有最大值为0．

点评 本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．