题目内容

已知向量 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的 $数学公式$ ，把所得到的图象再向左平移 $数学公式$ 单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间 $数学公式$ 上的最小值．

解：（1）依题意得，f（x）= $\text{[math]}$ -1
= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x+1-1
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴函数f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π，
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）得：，
kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的 $\text{[math]}$ ，可得y=2sin（x+ $\text{[math]}$ ），把所得到的y=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）的图象再向左平移 $\text{[math]}$ 单位，
即得g（x）=2sin[（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）；又0≤x≤ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴g（x）_min=2sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用向量的坐标运算可求得f（x）= $\text{[math]}$ -1=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得y=g（x）的表达式，从而可求得在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，是三角中的综合题，属于中档题．