Question

1．在△ABC中，A=60°，a=4，则△ABC的周长的最大值为12．

Answer 1

分析 根据余弦定理，算出（b+c）²=16+3bc，再利用基本不等式，加以计算，可得b+c≤8，即可得到△ABC周长的最大值．

解答 解：∵在△ABC中，A=60°，a=4，
∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
即16=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时等号成立），
∵16=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∴（b+c）²≤16+3bc≤16+3×16=64，由此可得b+c≤8（当且仅当b=c时等号成立），
∴△ABC周长b+c+a≤8+4=12（当且仅当b=c时等号成立），
即当且仅当b=c=4时，△ABC周长的最大值为12．
故答案为：12．

点评 本题给出三角形的一边和它的对角，求周长的最大值，着重考查了用余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．