Question

9．给出下列命题：①存在实数x，使$sinx+cosx=\frac{3}{2}$；②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＞cosβ；③函数$y=sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{2}）$是偶函数；④函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数$y=sin（2x+\frac{π}{4}）$的图象．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①，由 sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$判定；
②，取α=390⁰，β=20⁰都是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
对于③，函数$y=sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{2}）$=cos$\frac{2}{3}x$是偶函数；  
对于④，函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=sin（2（x+$\frac{π}{4}$）的图象．

解答 解：对于①，sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，$sinx+cosx=\frac{3}{2}$不可能，故错；
对于②，取α=390⁰，β=20⁰都是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ，故错；
对于③，函数$y=sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{2}）$=cos$\frac{2}{3}x$是偶函数，故正确；  
对于④，函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=sin（2（x+$\frac{π}{4}$）的图象，故错．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的基础知识，属于基础题．