Question

已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求出f^′（x），令f^′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x₁，x₂?函数g（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点?g^′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．
解答：解：∵=lnx+1-2ax，（x＞0）
令f^′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x₁，x₂?函数g（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点?g^′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f^′（x）单调递增，因此g（x）=f^′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g^′（x）=0，解得x=，
∵x，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．
∵，f^′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f^′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）=x₁（2ax₁-1-ax₁）=x₁（ax₁-1）=-＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）＞=-．（）．
故选D．
点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．