Question

6．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．
（Ⅰ）求证：AF=DF； 
（Ⅱ）求∠AED的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；
（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC．
∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B，
∴∠ADE=∠DAE．
∴EA=ED．
∵DE是半圆C的直径，
∴∠DFE=90°．
∴AF=DF．…（5分）
解：（Ⅱ）连结DM，
∵DE是半圆C的直径，
∴∠DME=90°．
∵FE：FD=4：3，
∴可设FE=4x，则FD=3x．
由勾股定理，得DE=5x．
∴AE=DE=5x，AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x（3x+3x）=AM•5x
∴AM=3.6x
∴ME=AE-AM=5x-3.6x=1.4x
在Rt△DME中，cos∠AED=$\frac{ME}{DE}$=$\frac{7}{25}$．…（10分）

点评 本题考查相似三角形的判定，切割线定理，勾股定理，圆周角定理等知识点的综合运用．