Question

17．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点F（-3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（-1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 设右焦点为Q，求得Q（3，0），运用椭圆的定义可得即|PF|=2a-|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|-|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q三点共线时，取得最大值，解得a=6，运用离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设右焦点为Q，
由F（-3，0），可得Q（3，0），
由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，
即|PF|=2a-|PQ|，
则|PM|+|PF|=2a+（|PM|-|PQ|）≤2a+|MQ|，
当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，
由|MQ|=$\sqrt{（-1-3）^{2}+{3}^{2}}$=5，可得2a+5=17，
所以a=6，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用定义法和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题．