Question

15．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）
（1）若直线l₁与圆相切，切点为B，求线段AB的长度；
（2）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用几何法，连接AB，BC与AC，则BC⊥AB，且BC=2，从而求出AC与AB的值；
（2）讨论斜率不存在以及为0，l₁与圆C的位置关系，设出正弦l₁的方程，利用直线与直线以及直线与圆的位置关系列出方程求出点M、N的坐标，计算AM•AN的值即可．

解答 解：（1）圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，圆心为（3，4），半径为2，
直线l₁过定点A（1，0）；

直线l₁与圆C相切，切点为B，连接AB，BC与AC，则BC⊥AB，且BC=2，
所以AC=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+（4-0）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AB=$\sqrt{{AC}^{2}{-BC}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{5}）}^{2}{-2}^{2}}$=4，
即线段AB的长度为4；
（2）易知，若斜率不存在，则l₁与圆相切，
若斜率为0，则l₁与圆相离，故直线的斜率存在，
可设l₁的方程：y=k（x-1），
由$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y+2=0}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$，解得$N（\frac{2k-2}{2k+1}，\frac{-3k}{2k+1}）$，
再由CM⊥l₁，解得$M（\frac{{{k^2}+4k+3}}{{1+{k^2}}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{1+{k^2}}}）$，
又直线CM⊥l₁，所以$\left\{{\begin{array}{l}{y-4=-\frac{1}{k}（x-3）}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$，
解得$M（\frac{{{k^2}+4k+3}}{{1+{k^2}}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{1+{k^2}}}）$，
所以$AM•AN=\frac{2|2k+1|}{{1+{k^2}}}\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{3\sqrt{{1+{k^2}}}}}{|2k+1|}=6$为定值．…（12分）

点评 本题考查了直线与圆的综合应用问题，考查了数形结合思想与方程的应用问题，是综合性题目．