Question

18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为边长为2的正三角形，D是棱A₁C₁的中点，CC₁=h（h＞0）．
（1）证明：BC₁∥平面AB₁D；
（2）若直线BC₁与平在ABB₁A₁所成角的大小为$\frac{π}{6}$，求h的值．

Answer 1

分析 （1）连接A₁B交AB₁于E，连接DE，利用三角形中位线定理可得DE∥BC₁，再由线面平行的判定可得BC₁∥平面AB₁D；
（2）以AB的中点O为坐标原点，分别以OB、OC所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，可得平面ABB₁A₁ 的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），求得$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，h），利用直线BC₁与平在ABB₁A₁所成角的大小为$\frac{π}{6}$列式求得h值．

解答 （1）证明：连接A₁B交AB₁于E，连接DE，
则DE是△A₁BC的中位线，
∴DE∥BC₁．
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D；
（2）解：以AB的中点O为坐标原点，分别以OB、OC所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C₁（0，$\sqrt{3}$，h），由图可得平面ABB₁A₁ 的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
又$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，h），
∴sin$\frac{π}{6}$=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{h}^{2}+4}}=\frac{1}{2}$，解得h=$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．