Question

20．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=bc，且sinA=2sinBcosC，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 通过（a+b+c）（b+c-a）=bc化简整理得b²+bc+c²=a²，结合余弦定理求得cosA，进而求得A，把A代入sinA=2sinBcosC中化简整理求得B、C，即可判断三角形的形状．

解答 解：在△ABC中，∵（a+b+c）（b+c-a）=bc，
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=bc，
∴（b+c）²-a²=bc，
b²+2bc+c²-a²=bc，
b²+c²-a²=-bc，
根据余弦定理有cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A=120°，
∵sinA=2sinBcosC，可得：sin（B+C）=2sinBcosC，
∴sin（B-C）=0，可得B=C，
∵A=120°，
∴B=C=30°．
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式．