Question

7．二面角α-l-β的大小为$\frac{π}{4}$，直线AB?α，若AB与l所成的角为$\frac{π}{4}$，则AB与β所成角的正弦值=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 过B作BC⊥l于C，BD⊥β，垂足为D，连结CD，于是∠BAD为AB与β所成的角，∠BCD=$\frac{π}{4}$，设BD=1，利用勾股定理依次求出BC，AB，从而得出sin∠BAD．

解答 解：过B作BC⊥l于C，BD⊥β，垂足为D，连结CD，
则∠BAD为AB与β所成的角，∠BCD为二面角α-l-β的平面角，∴$∠BCD=\frac{π}{4}$．
∴BC=$\sqrt{2}$BD．
设BD=1，则BC=$\sqrt{2}$，
∵∠BAC=$\frac{π}{4}$，BC⊥l，∴AB=$\sqrt{2}$BC=2，
∴sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面角的计算，作出线面角是解题关键，属于中档题．