Question

15．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，则“f（-x）=f（x）”是“φ=$\frac{π}{4}$”的（　　）

• A． 充分非必要条件
• B． 必要非充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π，可得$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω．利用“f（-x）=f（x）”，解得φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．即可判断出结论．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2．
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），
若“f（-x）=f（x）”，则φ+$\frac{π}{4}$=$kπ+\frac{π}{2}$，解得φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∴“f（-x）=f（x）”是“φ=$\frac{π}{4}$”的必要不充分条件．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．