Question

5．已知等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₂+2，a₃，a₄-2成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂+2，a₃，a₄-2成等比数列，${a}_{3}^{2}$=（a₂+2）（a₄-2），根据等差数列的通项公式求得d²-4d+4=0，即可求得d=2，数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由a₂+2，a₃，a₄-2成等比数列，
∴${a}_{3}^{2}$=（a₂+2）（a₄-2），
（1+2d）²=（3+d）（-1+3d），
d²-4d+4=0，解得：d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
S_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
数列{b_n}的前n项和S_n，S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等比数列性质，等差数列通项，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．