Question

（1）求证，若方程x³+ax²+bx+c=0的三根可排成等比数列，则a³c=b³．
（2）已知方程x³+7x²-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根．

Answer 1

分析：（1）设出原方程的三根，根据一元三次方程根与系数的关系得到三根的三个关系式，又三根可排成等比数列，根据等比数列的性质得到中间的一根的平方等于其他两根的积即β²=αγ，要证a³c=b³即要证(

b

a

)3=c，把a与b代入等号的左边，化简后得到c，得证；
（2）根据（1）可知β³=-c，又由方程得到c=-27，进而求出β的值，由三根之和等于-7，得到其他两根之和，记作①，由三根成等比数列得到β²=αγ，将β的值代入即可求出其他两根之积，记作②，联立①②即可求出其他的两个根，依次写出三根即可．

解答：解：（1）设α，β，γ是方程x³+ax²+bx+c=0的三根，
由根与系数关系可知：α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c，
又因α，β，γ排成等比数列，于是β²=αγ．
则(

b

a

)3=[

αβ+βγ+γα

-(α+β+γ)

]3=-[

(α+γ)β+β2

α+β+γ

]3
=-[

(α+β+γ)β

α+β+γ

]3=-β³=-αβγ=c
即a³c=b³，得证；
（2）解：由（1）可知β³=-c，∴β³=27，
∴β=3．代入α+β+γ=-7
可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β²=αγ，
即αγ=9，故可得方程组：

α+γ=-10 αγ=9

解之，可得α=-9或-1，γ=-1或-9．
于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-9．

点评：此题考查学生掌握一元n次方程的根与系数的关系，灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．