Question

14．如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知AD=600$\sqrt{3}$km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？（参考数据：tan37°=$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 在△ACD中使用余弦定理得出AC及∠ACD，在△ABC中使用余弦定理得出AB及∠CAE，再在△ACE中使用余弦定理得出CE及∠AEC．

解答 解：连接AC，CE，在△ACD中由余弦定理，得
$A{C^2}={（600\sqrt{3}）^2}+{1200^2}-2•600\sqrt{3}•1200•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=360000$，
∴AC=600，
则CD²=AD²+AC²，即△ACD是直角三角形，且∠ACD=60°，
又∠BCD=113°，则∠ACB=53°，
∵tan37°=$\frac{3}{4}$，
∴cos53°=sin37°=$\frac{3}{5}$．
在△ABC中，由余弦定理，得：$A{B^2}={600^2}+{500^2}-2•600•500•\frac{3}{5}={500^2}$，则AB=500，
又BC=500，则△ABC是等腰三角形，且∠BAC=53°，
由已知有$AE=600•\frac{36}{60}=360$，
在△ACE中，由余弦定理，有$CE=\sqrt{{{360}^2}+{{600}^2}-2•360•600•\frac{3}{5}}=480$，
又AC²=AE²+CE²，则∠AEC=90°．
由飞机出发时的方位角为60⁰，则飞机由E地改飞C地的方位角为：90°+60°=150°．
答：收到命令时飞机应该沿方位角150°的航向飞行，E地离C地480km．

点评 本题考查了余弦定理，解三角形的应用，属于中档题．