Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是边长为1的正方形，PA=PD，且PA⊥CD．
（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD；
（2）设PA=λ，当λ为何值时异面直线PA与BC所成的角为$\frac{π}{3}$？求并此时棱锥B-PCD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，利用平面与平面垂直的判定定理即可证明平面PAD⊥底面ABCD；
（2）由题意∠PAD=$\frac{π}{3}$，可得λ的值；取AD的中点O，连接PO，证明PO⊥底面ABCD，转换底面，即可求出棱锥B-PCD的体积．

解答 （1）证明：因为CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD…（2分）
又CD?底面ABCD，
所以平面PAD⊥底面ABCD…（4分）
（2）解：由题意∠PAD=$\frac{π}{3}$…（5分）
所以PA=λ=1…（6分）
取AD的中点O，连接PO，则PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，PO⊥AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥底面ABCD…（8分）
所以V_B-PCD=V_P-BCD=$\frac{\sqrt{3}}{12}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定、平面与平面垂直的判定定理，考查棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．