Question

19．已知$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，且x＞0，y＞0，则$\frac{16x}{x-1}$+$\frac{4y}{y-1}$的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 24
• C． 36
• D． 48

Answer 1

分析 由题意可得y=$\frac{x}{x-1}$，且x＞1，可得代入消元并变形可得原式=20+$\frac{16}{x-1}$+4（x-1），由基本不等式可得．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，且x＞0，y＞0，
∴解得y=$\frac{x}{x-1}$，由y=$\frac{x}{x-1}$＞0可得x＞1，
∴$\frac{16x}{x-1}$+$\frac{4y}{y-1}$=$\frac{16（x-1）+16}{x-1}$+$\frac{4•\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}$
=16+$\frac{16}{x-1}$+4x=20+$\frac{16}{x-1}$+4（x-1）
≥20+2$\sqrt{\frac{16}{x-1}•4（x-1）}$=36
当且仅当$\frac{16}{x-1}$=4（x-1）即x=3时取等号．
故选：C

点评 本题考查基本不等式求最值，消元并化为可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．