Question

已知双曲线过点（3，-2），且与椭圆4x²+9y²=36有相同焦点，则双曲线的标准方程为________．

Answer 1

分析：化椭圆方程为标准方程，求出椭圆的焦点，由此设出双曲线的标准方程，把点（3，-2）代入方程，联立a²+b²=c²即可求得a²，b²的值，则双曲线的方程可求．
解答：由4x²+9y²=36，得，则c²=9-4=5，所以c=．
所以椭圆的焦点为．
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以可设双曲线方程为．
因为双曲线过点（3，-2），所以
又a²+b²=5②，联立①②，解得：a²=3或a²=15（舍），b²=2．
所以双曲线的标准方程为．
故答案为．
点评：本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了利用代入法求圆锥曲线的方程，由焦点的位置设曲线标准方程是该题的关键，此题是中档题．