Question

已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求平面SCD与平面SBA所成二面角的正切值；
（2）求SC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面SDC的法向量和平面SBA的法向量，利用向量法能求出平面SCD与平面SBA所成二面角的正切值．
（2）求出

SC

和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出SC与平面ABCD所成角的正弦值．

解答： 解：（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，
建立空间直角坐标系，
则S（0，0，1），D（

1

2

，0，0），C（1，1，0），

SD

=（

1

2

，0，-1），

SC

=（1，1，-1），
设平面SDC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • SD = 1 2 x-z=0 n • SC =x+y-z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，1），
又SBA的法向量

m

=（1，0，0），
设平面SCD与平面SBA所成二面角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

2

6

=

6

3

，
sinθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，tanθ=

sinθ

cosθ

=

3 3

6 3

=

2

2

．
（2）∵

SC

=（1，1，-1），平面ABCD的法向量

p

=（0，0，1），
设SC与平面ABCD所成角为α，
则sinα=

| SC • p |

| SC |•| p |

=

1

3

=

3

3

，
∴SC与平面ABCD所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间向量在立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．