Question

9．已知点A（a，-2），直线l的斜率为2a且过定点（0，2），B，C为直线l上的动点且|BC|=2$\sqrt{7}$，则△ABC的面积的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． 7
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 14

Answer 1

分析 设直线l为y=2ax+b，把点（0，2）代入求得b，然后根据点到直线的距离公式求得△ABC边BC上的高线，结合三角形的面积公式进行解答．

解答 解：直线l的斜率为2a且过定点（0，2），直线l的方程为：y-2=2ax，
点A（a，-2）到直线l的距离为：d=$\frac{|2{a}^{2}+2-2|}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$，
B，C为直线l上的动点且|BC|=2$\sqrt{7}$，
则△ABC的面积为：$\frac{1}{2}×2\sqrt{7}×$$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$=2$\sqrt{7}$×$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$，
当$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$最小时，三角形的面积最小，
令y=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$，
设$\sqrt{1+4{a}^{2}}=t≥1$，
则y=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{4}}{t}$=$\frac{t}{4}-\frac{1}{4t}$，函数是增函数，t=1时，y取得最小值：1．
此时a=0．
三角形的面积的最小值为：2$\sqrt{7}$．
故选：C．

点评 考查待定系数法求直线方程、三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度．