Question

2．已知四棱锥P-ABCD为球O内接四棱锥，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形且AB∥CD，PC=$\sqrt{6}$，AD=$\frac{1}{2}AB$=2，∠DAB=$\frac{π}{3}$，则球O的体积V=9$\sqrt{2}π$．

Answer 1

分析 由余弦定理求出DA⊥DB，DC=BC=2，PD=$\sqrt{2}$，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出球半径，由此能求出球O的体积．

解答 解：∵四棱锥P-ABCD为球O内接四棱锥，PD⊥平面ABCD，
底面ABCD是梯形且AB∥CD，PC=$\sqrt{6}$，AD=$\frac{1}{2}AB$=2，∠DAB=$\frac{π}{3}$，
∴DB²=4+16-2×$2×4×cos\frac{π}{3}$=12，∴AD²+DB²=AB²，
∴DA⊥DB，DC=BC=2，
∴PD=$\sqrt{6-4}$=$\sqrt{2}$，
以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
设球心坐标为O（x，y，z），
则（x-2）²+y²+z²=x²+（y-2$\sqrt{3}$）²+z²=（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²+z²=x²+y²+z²=x²+y²+（z-$\sqrt{2}$）²，
解得x=1，y=$\sqrt{3}$，z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴球半径R=$\sqrt{1+3+\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴球O的体积V=$\frac{4}{3}π（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{3}$=9$\sqrt{2}π$．
故答案为：9$\sqrt{2}π$．

点评 本题考查球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．