Question

14．规定：f″（x）=（f′（x））′，例如，f（x）=x²，f′（x）=2x，f″（x）=2，设g（x）=lnx，函数h（x）=mg″（x）+g′（x）一$\frac{π}{3}$，下列结论正确的是（　　）

• A． 当m∈$（\frac{2}{3}，+∞）$时，函数h（x）无零点
• B． 当m∈$（-∞，\frac{2}{3}）$时，函数h（x）恰有一个零点
• C． 当m∈$[0，\frac{2}{3}]$时，函数h（x）恰有两个零点
• D． 当m∈$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$时，函数h（x）恰有三个零点

Answer 1

分析 求出h（x）的解析式，令h（x）=0，解出m=-$\frac{π}{3}$x²+x，利用函数图象的交点个数来判断h（x）的零点个数．

解答 解：g′（x）=$\frac{1}{x}$，g″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴h（x）=-$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{π}{3}$．
令h（x）=0得m=-$\frac{π}{3}$x²+x，（x＞0）．
作出y=m和y=-$\frac{π}{3}$x²+x（x＞0）的函数图象如图，
∴当m＞$\frac{3}{4π}$时，图象无交点，即方程m=-$\frac{π}{3}$x²+x无解，即h（x）无零点，
当m=$\frac{3}{4π}$或m≤0时，图象有一个交点，方程m=-$\frac{π}{3}$x²+x有一解，即h（x）有一个零点，
当0＜m＜$\frac{3}{4π}$时，图象有两个交点，方程m=-$\frac{π}{3}$x²+x有两解，即h（x）有两个零点，
∵$\frac{3}{4π}$＜$\frac{2}{3}$，∴m∈（$\frac{2}{3}$，+∞）时，h（x）无零点．
故选A．

点评 本题考查了基本初等函数的导数，函数零点的个数判断，作出函数图象是解题关键．