Question

13．已知函数$f（x）={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx（x∈R）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式化简f（x），利用正弦函数的性质列出方程解出对称轴；
（2）利用正弦函数的单调性列出不等式解出．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$
∴f（x）的最小值正周期T=π，
令$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，解得x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$．
∴f（x）的对称轴方程为：$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$，
∴f（x）的增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]，k∈Z$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题．