Question

1．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=n（$\frac{4}{5}$）ⁿ，
（1）判断数列{a_n}的单调性；
（2）是否存在最小正整数k，使得a_n＜k对任意的n∈N^*都成立，若存在，求出k的值，若不在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由作商法，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{4-n}{5n}$，再与1比较，即可得到所求单调性；
（2）由（1）可得数列{a_n}先增后减，且a₄=a₅取得最大值，可得k的范围，进而得到k的最小正整数．

解答 解：（1）a_n=n（$\frac{4}{5}$）ⁿ，即有a_n+1=（n+1）（$\frac{4}{5}$）ⁿ⁺¹，
由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{4（n+1）}{5n}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{4-n}{5n}$，
可得当1≤n≤3时，a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
n=4时，a₄=a₅，
当n＞4，n∈N时，a₅＞a₆＞…＞a_n＞…；
（2）由（1）可得数列{a_n}先增后减，
且a₄=a₅取得最大值，且为$\frac{1024}{625}$．
则a_n＜k对任意的n∈N^*都成立，即为k＞$\frac{1024}{625}$．
故存在最小正整数k，且为2．

点评 本题考查数列的单调性的判断，注意运用作商法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，考查运算能力，属于基础题．