64个正数排成8行8列.如图所示:在符号aij中.i表示该数所在的行数.j表示该数所在的列数．已知每一行中的数依次都成等差数列.每一列的数都成等比数列且每列数的公比都等于q.且a11=$\frac{1}{2}$.a24=1.a32=$\frac{1}{4}$．(1)求{aij}的通项公式,(2)记第k行各项之和为Ak.求A1的值及数列{Ak}的通项� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a_ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在的行数，j表示该数所在的列数．已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列的数都成等比数列且每列数的公比都等于q，且a₁₁=$\frac{1}{2}$，a₂₄=1，a₃₂=$\frac{1}{4}$．
（1）求{a_ij}的通项公式；
（2）记第k行各项之和为A_k，求A₁的值及数列{A_k}的通项公式；
（3）若A_k＜1，求k的值．

分析（1）设第一行的公差为d，等比数列的公比为q，进而根据若a₁₁=2，a₂₄=a₃₂=16，利用等差数列和等比数列的通项公式可得方程组求得q和d，进而求得a_ij；
（2）A_k=a_k1+a_k2+a_k3+…+a_k8，将其通项公式代入即可求得A_k；
（3）由A_k＜1，将其通项公式代入求得k的取值范围，可求得k的值．

解答（1）设第一行的公差为d，各列的公比为q，
由已知：a₂₄=a₁₄•q=1，a₃₂=a₁₂q²=（a₁₁+d）•q²=$\frac{1}{4}$，
解得：d=$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
∴a_ij=a_1j•q_i-1=[a₁₁+（j-1）d]•qⁱ-1=j•（$\frac{1}{2}$）ⁱ；
（2）A₁=a₁₁+a₁₂+a₁₃+…+a₁₈=（$\frac{1}{2}$+4）×4=18，
A_k=a_k1+a_k2+a_k3+…+a_k8，
=a₁₁•q^k-1+a₁₂q^k-1+…+a₁₈q^k-1，
=q^k-1（a₁₁+a₁₂+a₁₃+…+a₁₈），
=（$\frac{1}{2}$）^k-1•18，
=$\frac{36}{{2}^{k}}$；
（3）Ak＜1，即$\frac{36}{{2}^{k}}$＜1，k＞6，k≤8，
∴k的值为6、7和8．