Question

13．如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，OD=3OA，现将梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥P-OBCD，使得PC=$\sqrt{3}$，点E是线段PB上一动点．

（1）证明：DE和PC不可能垂直；
（2）当PE=2BE时，求PD与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 由题可知，可以直接建立空间直角坐标线证明位置关系和计算角．
（1）只要证明$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}$=0不成立即可．
（2）求出平面CDE的法向量，用向量角的余弦值来求PD与平面CDE所成角的正弦值．

解答 （1）证明：如图甲所示，因为BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，
所以AO=OB…（1分）
因为BC=1，OD=3OA，可得OD=3，OC=$\sqrt{2}$…（2分）
如图乙所示，OP=OA=1，OC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，
所以有OP²+OC²=PC²，所以OP⊥OC…（3分）
而OB⊥OP，OB∩OC=O，所以OP⊥平面OPD…（4分）
又OB⊥OD，所以OB、OD、OP两两垂直．故以O为原点，建立空间直角坐标系（如图），则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）
…（5分）
设E（x，0，1-x），其中0≤x≤1，所以$\overrightarrow{DE}$=（x，-3，1-x），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），
假设DE和SC垂直，则$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}$=0，有x-3+（1-x）（-1）=0，解得x=2，
这与0≤x≤1矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直…（6分）
（2）解：因为PE=2BE，所以 E（$\frac{2}{3}$，0，$\frac{1}{3}$）…（7分）
设平面CDE的一个法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
因为$\overrightarrow{CD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{3}$，-3，$\frac{1}{3}$），所以$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{\frac{2}{3}x-3y+\frac{1}{3}z=0}\end{array}\right.$…（9分）
取$\overrightarrow{n}$=（2，1，5）…（10分）
而$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-1），所以|cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{15}$，
所以PD与平面CDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{15}$．…（12分）

点评 考查了用空间向量法分析空间位置关系．考查了用空间向量法求法向量、线面角的大小．考查了化归思想，空间想象能力，运算能力，属于中档题．