Question

9．如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结OD交圆O于点M．且AB=4，DE=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求证：O、B、D、E四点共圆；
（Ⅱ）求AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结OE、BE，首先证明两个三角形全等，根据三角形三边对应相等，得到两个三角形全等，得到对应角相等，从而得到四边形一对对角互补，即四点共圆．
（Ⅱ）延长DO交圆O于点H，由（Ⅰ）知DE为圆O的切线，求出BC，即可求出AC．

解答 （Ⅰ）证明：如图，连结OE、BE，则BE⊥EC，又D是BC的中点，所以DE=BD，
又因为OE=OB，OD=OD，所以△ODE≌△ODB，所以∠OBD=∠OED=90°，
所以O、B、D、E四点共圆．------5
（Ⅱ）解：延长DO交圆于点H，由（Ⅰ）知DE为圆O 的切线，
所以$BD=DE=\frac{3}{2}$，所以BC=3，
又因为AB=4-----9
所以AC=5------10

点评 本题考查三角形全等，考查四点共圆，考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角等知识，属于中档题．