Question

9．求和：S_n=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+q²+…+qⁿ）

Answer 1

分析 对q=0，q=1，q≠1分类求得1+q+q²+…+qⁿ，进一步利用等差数列和等比数列的前n项和求得S_n=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+q²+…+qⁿ）．

解答 解：当q=0时，S_n=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+q²+…+qⁿ）=n+1；
当q=1时，∵1+q+q²+…+qⁿ=n+1，
∴S_n=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+q²+…+qⁿ）=1+2+…+（n+1）=$\frac{（1+n+1）（n+1）}{2}=\frac{1}{2}（n+1）（n+2）$；
当q≠1时，∵1+q+q²+…+qⁿ =$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，
∴S_n=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+q²+…+qⁿ）=$\frac{（1-q）+（1-{q}^{2}）+…+（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$
=$\frac{（n+1）-（q+{q}^{2}+…+{q}^{n+1}）}{1-q}$=$\frac{（n+1）-\frac{q（1-{q}^{n+1}）}{1-q}}{1-q}=\frac{{q}^{n+2}-nq-2q+n+1}{（1-q）^{2}}$．
综上，${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n+1）（n+2），q=1}\\{\frac{{q}^{n+2}-nq-2q+n+1}{（1-q）^{2}}，q≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的前n项和，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．