Question

20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，其中m＜n，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”，区间[m，n]称为“保值区间”．
（1）求证：函数g（x）=x²-2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”．
（2）若函数f（x）=2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．
（3）对（2）中函数f（x），若不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义以及“保值函数”的定义判断即可；
（2）由f（x）的定义域和值域都是[m，n]，问题等价于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的实数根，根据根的判别式判断即可；
（3）由不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，令h（x）=2x+$\frac{1}{x}$，易证h（x）在[1，+∞）递增，同理g（x）=$\frac{1}{x}$-2x[1，+∞）递减，求出函数h（x）_min，与函数g（x）_max，建立不等关系，解之即可求出a的范围．

解答 解：（1）g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
x∈[0，1]时，g（x）∈[-1，0]，
根据函数g（x）不是定义域[0，1]上的“保值函数”．
（2））由f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，
因此m，n是方程2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}x}$=x的两个不相等的实数根，
等价于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的实数根，
即△=（2a²+a）²-4a²＞0
解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{3}{2}$；
（3）a²f（x）=2a²+a-$\frac{1}{x}$，则不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，
即-2x≤2a²+a-$\frac{1}{x}$≤2x即不等式对x≥1恒成立，
令h（x）=2x+$\frac{1}{x}$，易证h（x）在[1，+∞）递增，
同理g（x）=$\frac{1}{x}$-2x[1，+∞）递减，
∴h（x）_min=h（1）=3，g（x）_max=g（1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2a}^{2}+a≤3}\\{{2a}^{2}+a≥-1}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{3}{2}$≤a≤1且a≠0．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及函数恒成立问题和不等式的综合，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．