Question

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解．（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1
又∵即（a+c）（a﹣c）=1=a²﹣c²，
∴a²=2
故椭圆方程为
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，
则设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F（1，0），
故k_PQ=1，
于是设直线l为y=x+m，
由得3x²+4mx+2m²﹣2=0
∵
又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂﹣1）+（x₂+m）（x₁+m﹣1）=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m﹣1）+m²﹣m=0
由韦达定理得
解得或m=1（舍）
经检验符合条件