Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，若$\frac{ab}{{c}^{2}}$取得最大值时，双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得a²+b²=c²，则$\frac{ab}{{c}^{2}}$=$\frac{ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，运用基本不等式可得a=b时，取得最大值，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，
可得a²+b²=c²，
则$\frac{ab}{{c}^{2}}$=$\frac{ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=b时，取得最大值$\frac{1}{2}$，
此时c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用基本不等式及等号成立的条件是解题的关键．