Question

14．已知各项均不为0的等差数列{a_n}前n项和为S_n，满足S₄=2a₅，a₁a₂=a₄，数列{b_n}满足b_n+1=2b_n，b₁=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{{a_n}{b_n}}}{2}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₄=2a₅，a₁a₂=a₄，可得4a₁+6d=2（a₁+4d），a₁（a₁+d）=a₁+3d，解得a₁，d，即可得出．利用等比数列的通项公式即可得出b_n．
（2）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{2}=n{2^n}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₄=2a₅，a₁a₂=a₄，
∴4a₁+6d=2（a₁+4d），a₁（a₁+d）=a₁+3d，解得a₁=2，d=2．
则a_n=2+2（n-1）=2n．
由数列{b_n}满足b_n+1=2b_n，b₁=2．
∴数列{b_n}是等比数列，公比为2．
${b_n}={2^n}$．
（2）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{2}=n{2^n}$，
则${T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n{2^n}$，
$2{T_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+…+n{2^{n+1}}$，
两式相减得$-{T_n}=1•{2^1}+1•{2^2}+1•{2^3}+…+{2^n}-n{2^{n+1}}$=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
整理得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．