Question

12．如图，多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°，AC，BD相交于O，EF∥AC，点E在平面ABCD上的射影恰好是线段AO的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为45°，求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，证明EH⊥BD，AC⊥BD，即BD⊥平面ACF    
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz，
由EH⊥平面ABCD，得∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH=45°则$AO=2\sqrt{3}，AH=\sqrt{3}，EH=\sqrt{3}$各点坐标分别为$H（0，0，0），A（\sqrt{3}，0，0），D（-\sqrt{3}，-2，0），O（-\sqrt{3}，0，0）$，E（0，0，$\sqrt{3}$），求出法向量即可求解．

解答 解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD
∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD…（2分）
又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内
∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF…（5分）    
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz…（6分）
∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，
即∠EAH=45°，又菱形ABCD的边长为4，则$AO=2\sqrt{3}，AH=\sqrt{3}，EH=\sqrt{3}$
各点坐标分别为$H（0，0，0），A（\sqrt{3}，0，0），D（-\sqrt{3}，-2，0），O（-\sqrt{3}，0，0）$，E（0，0，$\sqrt{3}$）…（7分）
易知$\overrightarrow{HE}$为平面ABCD的一个法向量，记$\overrightarrow n$=$\overrightarrow{HE}=（0，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AO}$=$（{-2\sqrt{3}，0，0}）$，$\overrightarrow{DE}$=$（{\sqrt{3}，2，\sqrt{3}}）$
∵EF∥AC，∴$\overrightarrow{EF}$=$λ\overrightarrow{AO}=（{-2\sqrt{3}λ，0，0}）$…（8分）
设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow m=（{x，y，z}），则\overrightarrow m⊥\overrightarrow{DE}，\overrightarrow m⊥\overrightarrow{EF}$（注意：此处$\overrightarrow{EF}$可以用$\overrightarrow{AO}$替代）
即 $\overrightarrow m•\overrightarrow{DE}$=$\sqrt{3}x+2y+\sqrt{3}z=0$，$\overrightarrow m•\overrightarrow{EF}=-2\sqrt{3}λx=0$
令$y=\sqrt{3}，则x=0，z=-2$，则，∴$\overrightarrow m=（{0，\sqrt{3}，-2}）$…（9分）
∴$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow m}\right＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow m}|}}=\frac{{-2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}•\sqrt{7}}}=-\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$
平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查了空间线面垂直、向量法求二面角，属于中档题．