Question

20．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH
（1）求证：平面AGH⊥平面EFG
（2）若a=4，求三棱锥G-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接FH，由题意，知CD⊥平面BCFG，从而CD⊥GH．再求出GH⊥FG，由此能证明平面AGH⊥平面EFG．
（2）由V_G-ADE=V_E-ADE，能求出三棱锥G-ADE的体积．

解答 证明：（1）连接FH，由题意，知CD⊥BC，CD⊥CF，
∴CD⊥平面BCFG．
又∵GH?平面BCFG，∴CD⊥GH．
又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，…（2分）
由题意，得BH=$\frac{1}{4}a$，CH=$\frac{3}{4}a$，BG=$\frac{1}{2}a$，
∴GH²=BG²+BH²=$\frac{5}{16}{a}^{2}$，
FG²=（CF-BG）²+BC²=$\frac{5}{4}{a}^{2}$，FH²=CF²+CH²=$\frac{25}{16}{a}^{2}$，
则FH²=FG²+GH²，∴GH⊥FG．…（4分）
又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…（5分）
∵GH?平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…（6分）
解：（2）∵CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，∴CF∥BG，
又∵ED∥CF，∴BG∥ED，
∴BG∥平面ADE，∴V_G-ADE=V_E-ADE，
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE，
∴三棱锥G-ADE的体积V_G-ADE=V_E-ADE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×4=\frac{32}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．