Question

3．己知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（3a_n-1），数列{b_n}为等差数列，且b₁=a₁，b₅=a₃．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{4（{n}^{2}+n+1）}{{b}_{n+1}^{2}-1}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的通项公式可得a_n=a₁q^n-1=3^n-1；再由等差数列的通项公式可得b_n=b₁+（n-1）d=2n-1；
（2）求得c_n=$\frac{4（{n}^{2}+n+1）}{（2n+1）^{2}-1}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（3a₁-1），
解得a₁=1，
当n＞1时，S_n=$\frac{1}{2}$（3a_n-1），可得S_n-1=$\frac{1}{2}$（3a_n-1-1），
相减可得a_n=$\frac{1}{2}$（3a_n-3a_n-1），
即为a_n=3a_n-1，
则a_n=a₁q^n-1=3^n-1；
即有b₁=a₁=1，b₅=a₃=9，
可得公差d=$\frac{{b}_{5}-{b}_{1}}{5-1}$=2，
b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）c_n=$\frac{4（{n}^{2}+n+1）}{{b}_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{4（{n}^{2}+n+1）}{（2n+1）^{2}-1}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有前n项和T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=n+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=n+1-$\frac{1}{n+1}$=n+$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差（比）数列通项公式的运用，以及数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．