Question

13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4．
（I）已知点A的极坐标为（5，π），求过点A且与曲线C相切的直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点B的极坐标为（3，0），过点B的直线与曲线C交于M、N两点，当△OMN的面积最大时，求直线MN的极坐标方程．

Answer 1

分析 （I）把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式、直线与圆相切的充要条件即可得出．
（II）由题意可设直线MN的方程为：my=x-3．圆心到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，|MN|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，可得S_△OMN=$\frac{1}{2}$d|MN|=3$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$，通过换元，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=4，化为直角坐标方程：x²+y²=16．
点A的极坐标为（5，π），化为直角坐标：A（-5，0），
设经过点A的切线方程为：y=k（x+5），即kx-y+5k=0，
∴$\frac{|5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4，化为：k²=$\frac{16}{9}$，解得k=$±\frac{4}{3}$，
可得过点A且与曲线C相切的直线的直角坐标方程为：y=$±\frac{4}{3}$（x+5）．
（II）由题意可设直线MN的方程为：my=x-3．
圆心到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
|MN|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{1+{m}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{1+{m}^{2}}}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$d|MN|=3$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$，
令1+m²=k≥1，则m²=k-1．
f（k）=$\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{4k-9}{{k}^{2}}$，f′（k）=$\frac{4{k}^{2}-（4k-9）×2k}{{k}^{4}}$=$\frac{2（9-2k）}{{k}^{3}}$，
可知：当k=$\frac{9}{2}$时，f（k）取得最大值，$f（\frac{9}{2}）$=$\frac{4}{9}$，m²=$\frac{7}{2}$，解得m=$±\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴直线MN的直角坐标方程为：$±\frac{\sqrt{14}}{2}$y=x-3．
化为极坐标方程：2ρcosθ$±\sqrt{14}$ρsinθ-6=0．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．